四、计算题。

　　1.某人决定分别在2002年、2003年、2004年和2005年各年的1月1日分别存入5000元，按10%利率，每年复利一次，要求计算2005年12月31日的余额是多少?

　　【正确答案】 本题中2002、2003、2004、2005年每年年初存入5000元，求在2005年年末的终值，显然是即付年金求终值的问题，所以，

　　2005年12月31日的余额=5000×(F/A,10%,4)×(1+10%)=25525.5(元)

　　或者2005年12月31日的余额=5000×[(F/A,10%,5)-1]=25525.5(元)

　　2.某公司拟租赁一间厂房，期限是10年，假设年利率是10%，出租方提出以下几种付款方案：

　　(1)立即付全部款项共计20万元;

　　(2)从第4年开始每年年初付款4万元，至第10年年初结束;

　　(3)第1到8年每年年末支付3万元，第9年年末支付4万元，第10年年末支付5万元。

　　要求：通过计算回答该公司应选择哪一种付款方案比较合算?

　　【正确答案】 第一种付款方案支付款项的现值是20万元;

　　第二种付款方案是一个递延年金求现值的问题，第一次收付发生在第四年年初即第三年年末，所以递延期是2年，等额支付的次数是7次，所以：

　　P=4×(P/A，10%，7)×(P/F，10%，2)=16.09(万元)

　　或者P=4×[(P/A，10%，9)-(P/A，10%，2)]=16.09(万元)

　　或者P=4×(F/A，10%，7)×(P/F，10%，9)=16.09(万元)

　　第三种付款方案：此方案中前8年是普通年金的问题，最后的两年属于一次性收付款项，所以：

　　P=3×(P/A，10%，8)+4×(P/F，10%，9)+5×(P/F，10%，10)

　　=19.63(万元)

　　因为三种付款方案中，第二种付款方案的现值最小，所以应当选择第二种付款方案。

　　3.某公司拟进行一项投资。目前有甲、乙两种方案可供选择。如果投资于甲方案其原始投资额会比乙方案高60000元，但每年可获得的收益比乙方案多10000元。假设该公司要求的最低报酬率为12%，方案的持续年限为n年，分析n处于不同取值范围时应当选择哪一种方案?

　　【正确答案】 使每年多获得10000元收益的现值等于60000元时甲乙两个方案是等价的，即

　　60000=10000×(P/A，12%，n)

　　即：(P/A，12%，n)=6

　　查年金现值系数表可知：

　　(P/A，12%，11)=5.9377

　　(P/A，12%，12)=6.1944

　　由内插法可知：

　　(n-11)/(12-11)=(6-5.9377)/(6.1944-5.9377)

　　n≈11.24(年)

　　所以如果方案能够持续11.24年以上，该公司应当选择甲方案;如果方案的持续年限短于11.24年，则公司应当选择乙方案;如果方案恰好能够持续11.24年，则选择任何一个方案都是可以的。

　　4.某企业有甲、乙两个投资项目，计划投资额均为1000万元，其收益率的概率分布如下表所示： 市场状况 概率 甲项目 乙项目

　　好 0.3 20% 30%

　　一般 0.5 10% 10%

　　差 0.2 5% -5%

　　要求：

　　(1)分别计算甲乙两个项目收益率的期望值。

　　(2)分别计算甲乙两个项目收益率的标准差。

　　(3)比较甲乙两个投资项目风险的大小。

　　(4)如果无风险收益率为6%，甲项目的风险价值系数为10%，计算甲项目投资的总收益率。

　　【正确答案】 (1)甲项目收益率的期望值=0.3×20%+0.5×10%+0.2×5%=12%

　　乙项目收益率的期望值=0.3×30%+0.5×10%+0.2×(-5%)=13%(2)甲项目收益率的标准差=[(20%-12%)2×0.3+(10%-12%)2×0.5+(5%-12%)2×0.2]1/2=5.57%乙项目收益率的标准差=[(30%-13%)2×0.3+(10%-13%)2×0.5+(-5%-13%)2×0.2]1/2=12.49%

　　(3)因为甲乙两个项目的期望值不同，所以应当比较二者的标准离差率进而比较风险的大小

　　甲项目的标准离差率=5.57%/12%×100%=46.42%

　　乙项目的标准离差率=12.49%/13%×100%=96.08%

　　因为乙项目的标准离差率大于甲项目的标准离差率，所以乙项目的风险大于甲项目。

　　(4)风险收益率=风险价值系数×标准离差率=10%×46.42%=4.64%

　　甲项目投资的总的收益率=无风险收益率+风险收益率=6%+4.64%=10.64%